 | ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
Переславль-Залесский, 2006 год.
В этом году проект был разделён на 5 основных тем: делимость, чётность, взвешивания, комбинаторика и буквенные выражения. Первая из них - взвешивания. В задачах такого типа взвешиваются одинаковые объекты (обычно монеты), некоторые из которых отличаются по весу от остальных. Требуется их вычислить. Вот пример такой задачи:
Есть 6 монет, из которых 2 фальшивые, которые весят меньше чем настоящие. Как за 3 взвешивания определить обе фальшивые монеты?
Решение здесь очень простое - нужно взвесить две тройки монет на каждой из чаш. Если вес будет одинаковым, то нужно взвесить обе тройки монет, вот как это сделать:
В чаши положить по монете, и если вес одинаковый, то третья монета фальшивая. А если какая-то монета легче, то она фальшивая. Но бывает так, что на 1 взвешивании одна из троек легче. И тогда опять нужно положить по монете на чашу, и если вес будет одинаковым, то I и II монеты будут ненастоящими. Ну а если одна монета будет легче, то она и II монета фальшивые.
Следующая тема - чётность. Несмотря на то, что идея чётности несложная, многие на первый взгляд непохожие друг на друга задачи решаются с использованием этой идеи. Например,
Может ли конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав на каждом из остальных полей, ровно 1 раз? Или
25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа - мальчики.
Разберём применение идеи чётности на примере следующей задачи:
На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединенных по цепочке в колечко. Могут ли все шестерёнки вращаться одновременно?
Решение. Предположим, что такое возможно. Тогда первая шестерёнка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестерёнка должна вращаться против часовой стрелки. Третья - по часовой, четвёртая - против и т.д. Ясно, что "нечётные" шестерёнки должны вращаться по часовой стрелке, а "чётные" - против. Но когда первая и последняя одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие.
Главным при решении этой задачи оказалось то, что шестерёнки, вращающиеся по и против часовой стрелки - чередуются.
Третья тема - делимость. Натуральные числа делятся на 2 вида - простые и составные. Составные числа - это те, которые можно получить, если перемножить каких либо 2 меньших натуральных числа. Простые числа имеют только 2 делителя: себя и единицу. В делимости важную роль играет разложение на простые множители. С помощью разложения на простые множители можно проверять делимость даже на очень большие числа. Например, делится ли число 12192768 на число 145152? Разложив на простые множители, легко заметить, что 12192768=210*35*72, а 145152=28*34*7. Поэтому первое число действительно делится на второе.
Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 6, то оно должно делиться на 24?
Решение. Нет. Например, число 12. Дело в том, что если число делится на 4, то в его разложении на простые множители, по крайней мере, дважды входит число 2; из делимости числа на 6 следует, что в его разложении есть 2 и 3. Таким образом, заведомо в это разложение входят две двойки и тройка, и можно только утверждать, что число делится на 12.
Следующая тема - это комбинаторика. Чтобы понятнее было, что это такое, приведу примеры задач.
В магазине "ВСЁ ДЛЯ ЧАЯ " есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?
Решение этой задачи элементарно. Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из 3 блюдец. Поэтому, есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15 (=5*3).
Можно даже было бы перечислить все 15 возможных вариантов. Однако этот метод неприменим для решения следующей задачи.
Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова "Математика"?
Ответ: 10!/(3!*2!*2!)
Решение. Сначала предположим, что все буквы различны: м1а1т1ем2а2т2ика3. Тогда всего слов получится 10!. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв м1 и м2 (а1, а2, а3 или т1, т2), на самом деле одинаковы. Разделив на количество возможных перестановок этих букв, получим ответ.
Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?
Решение. На самом деле, вместо того, чтобы подсчитывать количество требуемых 6-значных чисел, определим количество 6-значных чисел, не обладающих нужных свойством. Так как это в точности те числа, в записи которых встречаются только нечётные цифры, то их количество, очевидно, равно 56=15625. Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому, количество 6-значных чисел, обладающих указанным свойством, равно 900000-15625=884375.
И наконец заключительная часть проекта - это буквенные выражения. Иногда приходится решать целый ряд задач, которые различаются лишь значениями какого-то параметра.
Вот одна из таких задач.
Посчитать сумму от 1 до n.
Ответ: n*(n+1)/2.
Получив эту формулу, мы можем практически устно посчитать сумму от 1 до 1000000. Эту формулу придумал Гаусс, когда ещё учился в школе.
На этом завершается наш отчёт по проекту "Математика".