 | ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
(Официальное название - "И на Марсе будут яблони цвести"). Пущино, 1994 год.
С давних пор человечество пытается понять, если жизнь на Марсе. В 19 веке, имея хороший телескоп и богатое воображение, можно было увидеть на Марсе каналы и леса. Но сегодня мы знаем, что Марс абсолютно непригоден для жизни. Он почти совсем лишен воды. Поскольку в остальном Марс похож на Землю, то можно предположить, что все планеты земной группы (Меркурий, Венера, Земля, Марс) сформировались почти одинаковыми по составу, а затем Марс почему-то лишился всего водорода и большей части остальных газов. Различие в составе атмосферы объясняется тем, что на Земле, в отличие от других планет, существуют фотосинтезирующие организмы. В результате их деятельности углекислый газ на Земле перешел в кислород, а на Марсе и Венере остался неизменным.
Почему же Марс лишился газов? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо построить модель атмосферы. Эта задача очень сложна, поэтому мы начнем с более простого вопроса.
Как и в модели "Демон Максвелла", мы будем рассматривать движение каждой частицы в отдельности. Но в отличие от этой модели мы должны с самого начала рассматривать столкновения частиц, иначе они будут двигаться по прямой, пока не покинут атмосферу, у которой нет стенок.
Как известно, длина свободного пробега l в среде одинакова для всех молекул газа. Отрезок длиной l молекула пролетает по прямой, а затем в результате столкновения резко меняет направление движения. Зная это, мы можем сформулировать основу нашей модели так: каждая частица за единицу времени смещается на расстояние l, а затем случайным образом меняет направление движения. Таким образом, если в момент времени t1 координаты частицы были равны x1 и y1, то в момент времени t2=t1+dt они будут такими: x2=x1+l·cosa, y2=y1+l·sina, где a - случайно выбираемый угол (0<a<360°).
Теперь сформулируем граничные условия. Условие снизу: если частица, сместившись в очередной раз, оказалась ниже уровня предполагаемой поверхности почвы на величину h, т.е. в толще земли, то мы меняем ее ординату таким образом, чтобы она поднялась над поверхностью на ту же величину h, сохраняя при этом абсциссу неизменной.
Условие сверху: атмосфера сверху открыта. Условия с боков: стенок у атмосферы нет. Если мы хотим поместить все частицы на экране, то будем предполагать, что когда частица вылетает за левую границу, то она тут же влетает справа.
Теперь можно запустить в модели одну частицу. Она должна отражаться от нижней границы атмосферы и, проходя через правую стенку тут же появляться слева. Вдали от границ частица двигается хаотически. Если эти правила выполнены - ваша экспериментальная установка готова к работе.
Перед нами встает вопрос, какие характеристики газа мы можем измерить? Температуры в нашей модели пока нет, так как нет скорости. Зато мы можем, немного видоизменив модель, получить величину, которой нет в модели "Демон Максвелла".
Пусть в начальный момент времени все частицы находятся в одной точке. Тогда через некоторое время они образуют расползающееся облако. Оно обладает такой характеристикой, как среднее расстояние частиц от исходной точки.
Давление частиц измерить несколько сложнее, так как у нас нет стенок, на которые они бы давили. Но мы можем воспользоваться следующим фактом: при T=const из уравнения состояния идеального газа следует, что давление пропорционально концентрации вещества, т.е. количеству частиц в единице объема. Мы можем разделить экран на области и вычислять концентрацию частиц в каждой из них. Умножив на подходящую const, получим давление. Оно пригодится нам позднее.
Позволилим частицам свободно разлетаться во все стороны (стенки пока можно убрать). На каждом шагу будем измерять среднее расстояние от исходной точки. Построим зависимость этой величины от времени. Что это за кривая? При каком минимальном числе частиц ее можно узнать? Теория вероятностей утверждает, что R пропорционально квадратному корню из времени. Сравните эту зависимость с экспериментальным графиком. Насколько они похожи?
Теперь поставим отражающую частицы прямую стенку, так чтобы она проходила через исходную точку. Можно считать, что эта модель относится к растворению кристалла марганцовки в воде (при отсутствии в воде течений и перемешивания). Что произошло с экспериментальной кривой? Как это объяснить? Будет ли отличаться от нее кривая зависимости от времени среднего расстояния частиц от стенки?
Далее мы будем пользоваться другим начальным распределением - например, равномерным, поэтому характерной величиной у нас будет среднее расстояние от поверхности почвы, а не от исходной фиксированной точки.
В реальном газе длина свободного пробега частиц зависит от давления. Теоретически найдена зависимость, по которой они связаны соотношением обратной пропорциональности. Можно проверить эту зависимость экспериментально, используя модель "ДМ", учитывающую столкновения частиц. Теперь введем их в программу: каждая частица будет иметь длину свободного пробега l, зависящую от c (концентрации). Задайте неравномерное начальное распределение (например, пусть весь газ находится в нижней половине экрана) и наблюдайте за установлением равновесия. Как видите, этот метод дает не лучшие результаты. Иногда равновесие устанавливается даже медленнее, чем в модели, не учитывающей зависимости l(с). Попробуйте разобраться, почему это происходит. Смоделируйте более правдоподобную зависимость l(с). Где мы допустили ошибку: в выводе теоретической формулы l(c) или в компьютерной реализации соответствующей модели?
Как известно, тела в поле тяготения движутся с некоторым ускорением g. За время t с начала падения тело пролетает известное расстояние. Наши частицы в промежутках между столкновениями находятся в свободном падении. Следовательно, каждая частица независимо от направления ее движения за единицу времени падает на расстояние, зависящее от времени между столкновениями.
Теперь мы можем изучать параметры установившегося равновесия: среднее расстояние частиц от поверхности и их распределение по высоте. На данном этапе можно ввести следующее условие: частицы, уходящие вверх, не возвращаются в отсутствие гравитации. Это условие приведет к быстрому исчезновению атмосферы. Можно попытаться выяснить, какова должна быть гравитация, чтобы удержать молекулы в пределах атмосферы.
В земной атмосфере содержится 20% кислорода и 79% азота. Интересно, каков был бы ее состав, если бы Земля имела изначально несколько другую массу. Чтобы узнать это, введем в нашу модель молекулы другого сорта. У них будут другие размеры и масса, а следовательно, другие l и t. Поэтому молекулы другого сорта будут покидать атмосферу планеты с другой скоростью. В результате первоначальное соотношение частиц может резко измениться.
По одной из гипотез облако, из которого затем сформировались планеты, первоначально было однородным. Позднее легкие элементы (Н, Не) удалились от Солнца, находившегося в центре облака. В результате имеем: планеты, расположенные близко к Солнцу, содержат мало водорода, зато много кремния, алюминия и кислорода, а планеты-гиганты, расположенные дальше, состоят в основном из водорода и гелия и содержат в атмосфере очень мало углерода, азота и кислорода при полном отсутствии более тяжелых элементов.
Следовательно, наша программа, учитывающая существование двух сортов частиц, должна приводить к следующему результату: в состоянии равыновесия концентрация более легких частиц должна быть больше вверху, а тяжелых - наоборот. Если программа приводит к таким результатам, то можно считать, что мы получили объяснение различий в составе планет земной группы и планет-гигантов.
Построенная модель атмосферы обладает следующими недостатками: она позволяет рассматривать поведение очень маленького участка атмосферы в течение очень короткого промежутка времени. Если вычислить l и t для воздуха, то мы получим соответственно 10-6 м и 10-9 с. Следовательно, мы рассматриваем участок размером порядка 0.1 мм. По имеющимся данным, протяженность атмосферы во всех направлениях несколько превышает эту величину. Кроме того, мы рассматривали тонкий слой над самой поверхностью Земли. Если бы вся атмосфера находилась в этом слое, нам пришлось бы дышать через трубочку, опущенную к Земле. Наконец, рассматриваемый промежуток времени слишком мал для установления равновесия.
Очевидно, что для моделирования атмосферы надо применить другой подход. Разделим весь экран на области - клетки. У каждой клетки будут такие характеристики как давление и, может быть, температура. При наличии разности давлений в соседних клетках имеет место поток вещества в направлении клетки с меньшим давлением, в результате чего разность давлений уменьшается. Начальное распределение может быть любым - от случайного до заполнения половины экрана.
Участки с разным давлением можно изображать разным цветом.
Теперь можно наблюдать, как давление на всем экране выравнивается
(только сначала напишите граничные условия). Можно проделать с
этой моделью то же, что и с предыдущей:
- ввести второй сорт частиц (у каждой клетки добавляется еще
характеристика - парциальное давление частиц N2, а отличаться
они будут скоростью перехода в соседнюю клетку, где их давление
меньше);
- включить гравитацию (каким образом?).
В итоге мы получим качественную модель атмосферы, которая объяснит нам причины различий в строении атмосферы разных планет.