 | ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
По ходу выполнения проекта он поимел три основные задачи. Первая из них
включала в себя составление программы,которая обеспечивала бы быстрый
расчет
увы, формулы не сохранились. оригинальный текст
отчёта делался в чём-то вроде Лексикона, а для них просто оставлялось пустое
место, чтобы потом вписать руками.
При делении любой К - выпуклой фигуры на 7 частей прямыми общего положения априори есть возможность получить i штук их с минимальной площадью и j штук с максимальной.
Конфигурации, содержащие i меньших и j больших частей,обозначим через (i,j). Очевидно, что для данной (i,j) существует ??? конфигураций, различающихся взаимным расположением меньших и больших площадей; однако эквивалентности ??? и ??? индуцируют эквивалентности и в (i,j) конфигурациях. С учетом сказанного количество фактически различных (i,j) конфигураций дается таблицей: ???.
Заметим следующее: назовем конфигурацию улучшаемой (элементарно) в том случае, если движением прямых на h от их первоначального положения, или поворотом их на угол относительно точек их пересечения мы можем добиться неуменьшения меньших частей и уменьшения больших (аналогично неувеличения больших и увеличения меньших), такие движения назовем элементарными. Очевидно, что улучшаемая конфигурация не может давать w данной K. Очевидно также, что (i,j) конфигурация улучшаема iff соответвующая (j,i) конфигурация также улучшаема: для доказательства достаточно поменять знаки у улучшающих движений. Разумеется, движения для увеличения s/S должны быть достаточно малыми, чтобы не нарушать неэкстремальность других частей разбиения (то же относится и к неэлементарным поворотам).
Применяя элементарные движения к 22 (1,2) конфигурациям, получаем то, что все они улучшаемы. Так же улучшаемы 27 из 30 (1,3) конфигураций и 10 из 22 (1,4) конфигураций. Конфигурации типа (k,k) рассмотрим позднее.
Поворот хорды вокруг одной из ее точек, не совпадающей с двумя точками пересечения с другими хордами назовем неэлементарным: он сводится к комбинации двух элементарных движений (поворота и параллельного переноса) одной и той же хорды. Неулучшаемая элементарно конфигурация может быть улучшена неэлементарным поворотом. Поворот выбираем столь малым, что область не становится максимальной; точку поворота выбираем так, чтобы области не изменили своей площади. Из стандартных соображений непрерывности такая точка существует.
I. First part of the general problem investigated in present project is the following. It is necessary to prove that one can not divide circle into 7 parts of equal square using 3 hords.
The scheme of the proof may be the following.
The last result may be reformulated in the form which can help us in generalization of the problem.
Denote as s - the the minimal square of the part (parts,
may be) in any partition of the circle; and as S - the maximum
one. We have already shown that always s The next step in further investigation may have more
combinatoric than analitic character. It may be shown easily
that the partition cannot be extremal if it has not more than 2
min parts and not more than 2 max parts.
In order to prove all of such suggestions one must use
small motions of the hords either their translations or their
rotations. Some kinds of partitions with 3 and more max or
min parts ( but not all of them ) can be taken into the
consideration on this way.
So one more internal problem of combinatorial type arises
in this case: how many different distributions of several
numbers of min & max parts can be realized in arbitrary
partition? These numbers are not small; for example there are
nearly 42 (44) different distributions of type 2-2.
The final part of the the project may be the following:
a. With the help of the computer one can calculate numericaly
the value of w for circle as a function of 5 variables - the
polar coordinates of the hords' ends;
b. With the help of the idea of the virtual variations one can
show that for every convex figure its partition is not extremal
if triangle is the unique min part and 3 parts which have
common sides with it and only they have the maximum square.
In the most pleasant situation the proof of the following
theorem will be the result of this project activity: All kinds
of partition any convex figure cannot realized the w maximum if
they contain less than 5 parts of largest and smallest square.
With respect to usual argumens of compactness we can
immediately recieve the existance of the extremal partition. Of
course, this problem can be formulated for every convex figure
not only for the circle. Morover, it can be replaced from plane
to space of any finite dimension for convex bodies in it. But
it is easy to see that such kind of generalization is too
difficult for schoolproject.
It is rather hard even for plane. For example only in
planar case we can suggest for pupils quite reasonable
hypothesis about the extremal partition (there must be only the
parts of two different squares s & S, and the internal triangle
must has the square of s).
Путем долгих вычислений мы пришли к выводу, что, если круг
разделить на 3 одинаковые по площади большие части и 4 одинаковые по площади
же малые, то отношение меньшей площади к большей будет приближенно равно s/S
= 0.2566719 (программу смотри в приложении 1). При аналогичном делении
площади треугольника на 7 частей отношение s/S = W вычисляется точно; оно
равно (4√2 - 2)/7 = 0.5224...
При помощи модификации предыдущих вычислений мы оценили W
в произвольно взятой выпуклой фигуре следующим образом. В рассматриваемую
фигуру K вписывается треугольник ABC наибольшей площади. Затем проводятся
опорные для K прямые, проходящие через вершины треугольника ABC и
параллельные противолежащим сторонам треугольника . Из них получается
треугольник PQR такой, что ABC∈К, а К∈PQR (Если нашлась бы точка
не ∈PQR, то одна из вершин треугольника АВС была бы этой точкой).
После этого вписанный в K треугольник делилится на 7 частей, как
сказано выше. Затем хорды продлеваются так, чтобы они касались сторон
PQR. Из этого и получается, что W(K) оценивается снизу отношение s к S в PQR.
Был смоделирован процесс появления точек на экране при помощи формул:
???
1. В модельном варианте программы с помощю датчика случайных
чисел.
2. В рабочем варианте программы они считывались из файла данных с заранее
насчитанными решениями уравнения ???.
Основная цель проекта состояла в том, чтобы у каждого из участников
сформировались навыки и умение проводить предварительный анализ вновь
поставленной перед ним задачи из геометрии, относительно которой заранее
не известно можно ли, по силам ли будет найти ее решение и как в случае
удачи представить ответ в обозримом виде.
Вспомогательными целями проекта следует считать:
В качестве основных задач участникам проекта было предложено
следующее:
В ходе работы проекта с ребятами вместо лекций был проведен ряд
теоретических занятий (благо количество народа в проекте позволяло делать
такие замены) по конкретной тематике, связанной с выбранными ими задачами:
дополнительные главы ароифметики (НОД, НОК, делимость...); элементы теории графов.
Параллельно объяснялись основные элементы программирования на PASCAL'е.
Выходной контроль показал следующее:
В ходе работы над проектом его участниками были написаны следующие программы:
Губанковым Г.- программа расчета НОД двух чисел и программа,
проверяющая возможность существования точки, рационально
удаленной от вершин квадрата с рациональной стороной. Эта
программа добросовестно отработала до границ, определяемых
возможностями PASCAL'я (longint), но ничего не нашла!
Юмагужиным Н.- программа, находящая возможные подстановки для ломаных,
пересекающих каждое звено 1 раз, с использованием рекурсивной процедуры.
Забелиным В.- программа, находящая возможные подстановки для ломаных,
пересекающих каждое звено 1 раз, с использованием кодировки перестановок
целыми числами.
Свирщевским А.- программа, распознающая среди возможных
подстановок те, которые реализуют одну и ту же ломаную.
К сожалению, эту программу не удалось заставить работать.
В ходе реализации проекта были использованы уже применявшиеся
ранее методы изложения материала. Руководитель и Ассистент с
благодарностью отмечают активную помощь, со стороны руководителя делегации
Уфы - Лилии.
NOTIONS FOR THE LEADER
Отчет проекта GEOMETRY на МКШ-5
Pushchino program
Moscow program
Проект "Геометрия" (1994 год)
Руководитель : Н.С.Келлин
Ассистент : А.В.Березин
Участники проекта:
-расширение кругозора участников по геометрической тематике;
-освоение ими практических навыков в использовании языка программирования (использовались: среда TURBO PASCAL и BASIC);
-проведение теоретических выкладок и численных расчетов, необходимых для
решения задач (см.ниже) ответ в которых был заведомо неизвестен ни
участникам, ни руководителям проекта.
а) проанализировать методами объясненной по ходу занятий
аналитической геометрии проблему Штейнгауза о (не)возможности найти в
плоскости XY точку, рационально удаленную от вершин квадрата с
рациональной стороной;
б) найти все замкнутые ломаные, пересекающие каждое свое звено ровно
один раз для любого заданного числа звеньев.
- ребята полностью поняли, чем они занимались, с какой
целью, и какие методы при этом использовались.
- на теоретических занятиях ребята усвоили принципиально
новую для себя информацию.
- нехватка знаний в области программирования была ликвидирована: ребята
освоили синтаксис при написании собственных программ, начинающие
познакомились с основными операторами. Однако сложности возникли при
использовании нестандартных структур в циклах и рекурсивных подпрограмм.