 | ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
Дубна, 2000 год.
Руководитель: И.С.Неретин
Участники:
Фракталы - множества точек в пространстве, обладающие свойством самоподобия: некоторые их части являются точными уменьшенными копиями целого. Это новое направление в математике, совершившее в научной парадигме переворот, сравнимый по значимости с теорией относительности и квантовой механикой. Объекты фрактальной геометрии по своему внешнему виду резко отличаются от привычных нам 'правильных' геометрических фигур. Фактически, это прорыв в математическом описании систем, которые на протяжении долгого времени такому описанию не поддавались. Фрактальные множества обладают рядом необычных характеристик. Так, при 'макроскопическом' измерении их длины она зависит от длины отрезка, которым проводится измерение. При аналитическом вычислении часто оказывается, например, что длина бесконечна, а площадь равна нулю. Следовательно, такие объекты не могут считаться ни одномерными, ни двумерными. Для них разработано понятие размерности, способной принимать дробные значения.
Вся потрясающая сложность и красота фракталов вырастает из нескольких довольно простых идей. Однако школьное преподавание в силу своей инертности доберется до них не скоро, возможно, через 20-30 лет. Целью нашего проекта была проверка восприятия этих идей школьниками 8-10 класса. Перед участниками изначально не ставилось конкретной задачи. Предполагалось разработать и реализовать на компьютере алгоритмы рисования некоторых фракталов на плоскости, исследовать способы их описания и возможно, провести некую классификацию.
Входной контроль показал распределение с большой дисперсией: трое участников, очевидно, случайно проходили мимо, шестеро обладали средними познаниями в области школьного курса математики, еще четверо слышали слово 'фрактал' и некоторые другие слова. Так, Алексей Боголюбский на один из вопросов входного теста указал, что знает кватернионы, и пребывал в этом заблуждении, пока не получил задание перемножить два кватерниона.
Некоторое время было уделено общеобразовательным темам: комплексные числа и операции с ними, понятие симметрии и группы симметрии на плоскости (слово 'группа' не произносилось). Темы были встречены с вялым интересом. Значительно больший интерес вызвало наблюдение реальных объектов, родственных фракталам. Результаты пересчета листьев папоротника и иголок елки, однако, не были использованы по существу в дальнейшем.
Первый выход на компьютеры привел к ожидаемым результатам: Владислав Щербина по собственной инициативе нарисовал весьма правдоподобный папоротник, остальные ограничились проверкой того, какие игрушки установлены на каждый компьютер. В дальнейшем Владимир Ситников разработал серию программ, рекурсивно рисующих кохоподобные фракталы, Алексей нарисовал множество Мандельброта и на остаток времени погряз в оптимизации вычислений по нему, а Влад занялся кривой дракона.
Техническая проблема (хард сгорел) сделала невозможным использование программы FRACTINT, и для демонстрации остались только фракталы, приведенные в книге 'Красота фракталов', а также те, которые были нарисованы самими участниками проекта. С третьей недели была устроена постепенно расширявшаяся выставка фракталов. Новые экспонаты печатались и вывешивались по ходу написания программ. Часть алгоритмов реализована участниками на основе коллективного обсуждения и подкинутой руководителем идеи, а часть - принесена извне. Ввиду отсутствия ассистентов и невозможности проконтролировать деятельность 13 человек в двух комнатах имела место некоторая побочная активность участников: ими был написан ряд программ диверсионного характера.
Единственная серьезная теоретическая задача, в решении которой удалось продвинуться - вопрос о площади кривой дракона. Подсчет квадратиков в распечатках кривых разного порядка, сильно заинтересовавший всех участников, не дал простой закономерности. Позднее Влад заметил, что кривой дракона некоторого порядка можно замостить плоскость, что привело к оценке ее площади в 1/2 единичного квадрата. Однако не удалось доказать гипотезу, согласно которой такая оценка точна для любого порядка, включая бесконечный (на самом деле это так).
В течение последней недели была разработана классификация фракталов. К сожалению, каждый пункт приходилось получать из участников под сильным давлением. Фракталы были условно разделены на точечные и векторные, по аналогии с форматами файлов графики: к первым были отнесены те, для построения которых нет более простого способа, чем провести определенные вычисления для каждой точки рисунка (множества Мандельброта и Жюлиа, бассейны Ньютона), а ко вторым - фигуры, построенные из готовых элементов (остров Коха, ковер Серпинского). Векторные фракталы, вообще говоря, могут быть также построены по точечным алгоритмам. Например, треугольный ковер Серпинского можно получить как из геометрических преобразований, так и из треугольника Паскаля. Помимо этого, было проведено разделение по способу построения на геометрические и алгебраические фракталы. К геометрическим были отнесены те, которые строятся на основе операций, выполнимых циркулем и линейкой. Конечно, оба разделения являются в известной мере условными.
В целом проект можно считать проведенным успешно. Возможно продолжение с частично обновленным составом. Желательно наличие ассистента для одновременного контроля работы на компьютерах и без них. Следует задуматься над подбором теоретических задач, достаточно понятных, чтобы увлечь участников; таких задач не хватало.
Фракталы, упомянутые в проекте, и алгоритмы их построения (кратко).
Иван Неретин