Disclaimer

Народ, приходящий сюда с поисковиков в поисках уравнений эллипса, параболы и гиперболы, которых здесь нет, задолбал меня и сам задолбался. Слушайте же:
 x2

a2
+  y2

b2
= 1 — это эллипс

 y2 =  2px — это парабола

 x2

a2
-  y2

b2
= 1 — это гипербола

Вот таким образом.
И.С.Неретин, 07.11.2003


Кривые на плоскости

Кругляков М., Петухов О., Ридин В.

Постановка задачи.

Задачей было найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух фигур. Сначала это были произвольные фигуры; затем мы сузили тему до пар трёх основных фигур - точка, прямая, окружность.

Разумеется, таких пар будет шесть:

точка-точка; точка-прямая; точка-окружность; прямая-прямая; прямая-окружность и две окружности.

Методы решения.

Самые простые из этих задач можно решить геометрическим способом т.е. с помощью циркуля и линейки; для решения других требуется алгебраический расчёт. Первым методом мы решали две задачи: точка-точка и прямая-прямая.

Расстояние.

Мы задали расстояние, как функцию от двух фигур следующими аксиомами:

1) r(a,b)≥0 , и равенство достигается только при a=b;

2)r(a,b) = r(b,a);

Существует особое подмножество расстояний - метрики. Для них справедлива третья аксиома: неравенство треугольника.

Расстоянием между двумя фигурами назовём расстояние между ближайшими точками этих фигур.

Точка-точка.

По свойству серединного перпендикуляра, это - множество точек, равноудалённых от концов отрезка, к которому он проведён. Соединим две данные точки, и с помощью циркуля и линейки построим серединный перпендикуляр. Это и есть искомая фигура.

Если точки совпадают, то равноудалена от них вся плоскость.

Прямая-прямая.

Есть три случая:

1)Прямые совпадают: ГМ равноудалённых точек - вся плоскость;

2)Прямые параллельны: искомая фигура - прямая, параллельная им и проходящая точно между ними (построить её легко);

3)Прямые пересекаются: ГМ равноудалённых точек - объединение двух прямых, биссектрис углов между данными прямыми.

Прямая-точка.

При решении этой задачи мы использовали координаты. Было получено, что искомая фигура - парабола. Для упрощения задачи мы предполагали, что данная прямая - параллельна оси Х.
(Приводится формула параболы)

Окружность-окружность.

Для упрощения формул мы предполагали, что центр одной окружности - начало отсчёта, а центр второй лежит на оси Х. В ответе мы получили уравнение гиперболы (если окружности лежат одна вне другой), или эллипса (если одна окружность внутри другой)
(Приводится формула гиперболы/эллипса)

В случае внешнего касания это тоже гипербола или эллипс , но к искомой фигуре добавляется отрезок, соединяющий центры окружностей (для гиперболы) или центр меньшей окружности и точку касания (все его точки тоже равноудалены).

Отзыв

Участники проекта в основном справились с поставленной задачей, но в реферате не указаны некоторые существенные детали. Например, непонятно, как введено расстояние в декартовых координатах на плоскости, без чего неясен смысл всего рассуждения о метриках. Имеются недоработки в алгебраическом решении задачи о двух окружностях (непонятно, каким образом получено особое решение - отрезок). Не приведено алгебраическое решение двух первых задач, что позволило бы сравнить плюсы и минусы разных методов. Ввиду недостатка времени и денег не решены задачи точка - окружность и прямая - окружность. Но в целом проведена значительная работа и указанные недостатки, несомненно, будут исправлены.

Иван Неретин
30 января 1999г.