 | ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
|
|
Вот таким образом.
И.С.Неретин, 07.11.2003
Кругляков М., Петухов О., Ридин В.
Постановка задачи.
Задачей было найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух фигур. Сначала это были произвольные фигуры; затем мы сузили тему до пар трёх основных фигур - точка, прямая, окружность.
Разумеется, таких пар будет шесть:
точка-точка; точка-прямая; точка-окружность; прямая-прямая; прямая-окружность и две окружности.
Методы решения.
Самые простые из этих задач можно решить геометрическим способом т.е. с помощью циркуля и линейки; для решения других требуется алгебраический расчёт. Первым методом мы решали две задачи: точка-точка и прямая-прямая.
Расстояние.
Мы задали расстояние, как функцию от двух фигур следующими аксиомами:
1) r(a,b)≥0 , и равенство достигается только при a=b;
2)r(a,b) = r(b,a);
Существует особое подмножество расстояний - метрики. Для них справедлива третья аксиома: неравенство треугольника.
Расстоянием между двумя фигурами назовём расстояние между ближайшими точками этих фигур.
Точка-точка.
По свойству серединного перпендикуляра, это - множество точек, равноудалённых от концов отрезка, к которому он проведён. Соединим две данные точки, и с помощью циркуля и линейки построим серединный перпендикуляр. Это и есть искомая фигура.
Если точки совпадают, то равноудалена от них вся плоскость.
Прямая-прямая.
Есть три случая:
1)Прямые совпадают: ГМ равноудалённых точек - вся плоскость;
2)Прямые параллельны: искомая фигура - прямая, параллельная им и проходящая точно между ними (построить её легко);
3)Прямые пересекаются: ГМ равноудалённых точек - объединение двух прямых, биссектрис углов между данными прямыми.
Прямая-точка.
При решении этой задачи мы использовали координаты. Было
получено, что искомая фигура - парабола. Для упрощения задачи мы
предполагали, что данная прямая - параллельна оси Х.
(Приводится формула параболы)
Окружность-окружность.
Для упрощения формул мы предполагали, что центр одной
окружности - начало отсчёта, а центр второй лежит на оси Х. В ответе мы
получили уравнение гиперболы (если окружности лежат одна вне другой), или
эллипса (если одна окружность внутри другой)
(Приводится формула гиперболы/эллипса)
В случае внешнего касания это тоже гипербола или эллипс , но к искомой фигуре добавляется отрезок, соединяющий центры окружностей (для гиперболы) или центр меньшей окружности и точку касания (все его точки тоже равноудалены).
Участники проекта в основном справились с поставленной задачей, но в реферате не указаны некоторые существенные детали. Например, непонятно, как введено расстояние в декартовых координатах на плоскости, без чего неясен смысл всего рассуждения о метриках. Имеются недоработки в алгебраическом решении задачи о двух окружностях (непонятно, каким образом получено особое решение - отрезок). Не приведено алгебраическое решение двух первых задач, что позволило бы сравнить плюсы и минусы разных методов. Ввиду недостатка времени и денег не решены задачи точка - окружность и прямая - окружность. Но в целом проведена значительная работа и указанные недостатки, несомненно, будут исправлены.
Иван Неретин